Course 2023-2024 a.y.

• Linear algebra. Eigenvalues and eigenvectors of a symmetric matrix, spectral theorem. Quadratic forms and their classification with respect to their sign, Sylvester-Jacobi's theorem.
• N-variable differential calculus. Hessian matrix, second-order conditions for unconstrained local maximizers /minimizers, case of the concave / convex differentiable functions, unconstrained optimization problems. Implicitly defined real functions of one real variable, Dini's theorem. Constrained optimization problems, Lagrangean function, Lagrange's theorem.
• Integral calculus. Riemann integral for a bounded function, integrability conditions, classes of integrable functions, properties of the Riemann integral, integral mean value. Indefinite integral, first fundamental theorem of calculus. Integral function, second fundamental theorem of calculus. Properties of the indefinite integral, integration by parts, integration by substitution. Improper integral, integrability criteria. Stieltjes integral for a bounded function f with respect to an increasing function g.
• Probability calculus. Axiomatic approach, probability measures. Random variables: distribution function, probability function, probability density function, notable examples. Expected value and variance of a random variable, moments of a random variable.
• Mathematical finance. Accumulation, discount. Compound accumulation. Financial operations. Financial markets. Portfolios, payoffs, contingent claims. Law of one price. Arbitrages, no arbitrage conditions. Fundamental theorem of finance. 

• Know the fundamental notions of linear algebra, n-variable differential calculus, integral calculus, probability calculus, and mathematical finance.
• Articulate these notions in a conceptually and formally correct way, adequately using definitions, theorems, and proofs.

• Apply the fundamental theoretic results in linear algebra, n-variable differential calculus, integral calculus, probability calculus, and mathematical finance to the resolution of problems and exercises.
• Actively search for the most adequate ideas and deductive chains, in order to prove possible links between the properties of mathematical notions and to solve assigned problems.
• Interpret the fundamental theoretical results in the framework of the mathematical modeling processes that are necessary for the analysis of problems in Economics, Finance, and Management. 

• Face-to-face lectures
• Online lectures
• Exercises (exercises, database, software etc.)

Online lectures will be included or not according to the external constraints and will be analogous to the usual face-to-face lectures.
Exercise sessions are dedicated to the application of the main theoretical results obtained to problems and exercises of various nature.

Students are evaluated on the basis of a written exam. This exam may be taken in one of the two following ways.

• It can be split in two on-campus partial exams. Each of the two partial exams contains both open-answer questions and closed-answer questions; each one covers one half of the course syllabus; each one weighs for approximately one half of the final grade. Each type of questions contributes in a specific way to the assessment of the students' acquired knowledge. In particular, closed-answer questions mainly aim at evaluating the knowledge of the fundamental mathematical notions and the ability to apply these notions to the solution of simple problems and exercises. While open-answer questions mainly aim at evaluating:

1. The ability to articulate the knowledge of mathematical notions in a conceptually and formally correct way, adequately using definitions, theorems and proofs.
2. The ability to actively search for deductive ideas and chains that are fit to prove possible links between the properties of mathematical objects.
3. The ability to apply mathematical notions to the solution of more complex problems and exercises.

• It can be taken as a single on-campus general exam. This exam contains both open-answer questions and closed-answer questions, covers the entire course syllabus, and can be taken in one of the four general sessions which are scheduled in the academic year. This way is mainly meant for students who have withdrawn from the partials procedure or could not follow it. Each type of questions contributes in a specific way to the assessment of the students' acquired knowledge. In particular, closed-answer questions mainly aim at evaluating the knowledge of the fundamental mathematical notions and the ability to apply these notions to the solution of simple problems and exercises. While open-answer questions mainly aim at evaluating:

1. The ability to articulate the knowledge of mathematical notions in a conceptually and formally correct way, adequately using definitions, theorems and proofs.
2. The ability to actively search for deductive ideas and chains that are fit to prove possible links between the properties of mathematical objects.
3. The ability to apply mathematical notions to the solution of more complex problems and exercises.

We take a special care to adjust the raw grades assigned in each exam, to obtain final grades whose distribution follows as closely as possible the normal distribution of grades that is recommended by Bocconi University.

Texts:

• S. CERREIA VIOGLIO, M. MARINACCI, E. VIGNA, Principles of Mathematics and Economics, Milano (draft version, available as a pdf file).
• Integrative teaching materials.

• Algebra lineare. Autovalori e autovettori di una matrice simmetrica, teorema spettrale. Forme quadratiche e loro classificazione rispetto al segno, teorema di Sylvester-Jacobi.
• Calcolo differenziale con n variabili. Matrice Hessiana, condizioni del second'ordine per i punti di massimo / minimo locale libero, caso delle funzioni concave / convesse differenziabili, problemi di ottimizzazione libera. Funzioni reali di una variabile reale definite implicitamente, teorema di Dini. Problemi di ottimizzazione vincolata, funzione Lagrangiana, teorema di Lagrange.
• Calcolo integrale. Integrale di Riemann per una funzione limitata, condizioni di integrabilità, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale di Riemann, valor medio integrale. Integrale indefinito, primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione integrale, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Proprietà dell'integrale indefinito, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrale improprio, criteri di integrabilità. Integrale di Stieltjes per una funzione limitata f rispetto a una funzione crescente g.
• Calcolo delle probabilità. Approccio assiomatico, misure di probabilità. Variabili aleatorie: funzione di ripartizione, funzione di probabilità, funzione densità di probabilità, esempi notevoli. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria, momenti di una variabile aleatoria.
• Finanza matematica. Capitalizzazione, attualizzazione. Capitalizzazione composta. Operazioni finanziarie. Mercati finanziari. Portafogli, payoff, contingent claims. Legge del prezzo unico. Arbitraggi, condizioni di assenza di arbitraggi. Teorema fondamentale della finanza. 

• Conoscere le nozioni fondamentali di algebra lineare, calcolo differenziale con n variabili, calcolo integrale, calcolo delle probabilità e finanza matematica.
• Articolare tali nozioni in modo concettualmente e formalmente corretto, utilizzando in modo adeguato definizioni, teoremi e dimostrazioni.

• Applicare i risultati teorici fondamentali di algebra lineare, calcolo differenziale con n variabili, calcolo integrale, calcolo delle probabilità e finanza matematica alla risoluzione di problemi ed esercizi.
• Cercare in modo attivo le idee e le catene deduttive più adatte per dimostrare eventuali collegamenti tra le proprietà degli enti matematici e per risolvere problemi assegnati.
• Interpretare i risultati teorici fondamentali all'interno dei processi di modellizzazione matematica necessari per l'analisi dei problemi economici, finanziari e aziendali. 

• Lezioni frontali
• Lezioni online
• Esercitazioni (esercizi, banche dati, software etc.)

Le lezioni online saranno attivate o no a seconda dei vincoli esterni e saranno analoghe alle consuete lezioni frontali.
Le esercitazioni consistono in sessioni dedicate all’applicazione dei principali risultati teorici ottenuti a problemi ed esercizi di varia natura.

Gli studenti sono valutati con un esame in forma scritta. Tale esame si può sostenere in uno dei due modi seguenti.

• Mediante due prove parziali, che si svolgono on-campus. Ciascuna delle due prove parziali contiene sia domande a risposta aperta sia domande a risposta chiusa; ciascuna verte su una metà del programma d'esame; ciascuna conta per la metà del voto finale. Ciascun tipo di domande contribuisce in modo specifico alla valutazione delle conoscenze acquisite dagli studenti. In particolare, le domande a risposta chiusa mirano soprattutto a valutare la conoscenza delle nozioni matematiche fondamentali e la capacità di applicare tali nozioni alla risoluzione di semplici problemi ed esercizi. Mentre le domande a risposta aperta mirano soprattutto a valutare:

1. La capacità di articolare la conoscenza delle nozioni matematiche in modo concettualmente e formalmente corretto, utilizzando in modo adeguato definizioni, teoremi e dimostrazioni.
2. La capacità di cercare in modo attivo le idee e le catene deduttive più adatte per dimostrare eventuali collegamenti tra le proprietà degli enti matematici.
3. La capacità di applicare le nozioni matematiche alla risoluzione di problemi ed esercizi più complessi.

• Mediante un unico esame generale, che si svolge on-campus. Tale esame contiene sia domande a risposta aperta sia domande a risposta chiusa, verte su tutto il programma del corso e può essere sostenuto in una delle quattro sessioni generali dell'anno accademico. Questa modalità è pensata soprattutto per gli studenti che si sono ritirati dalle prove parziali o che non hanno potuto parteciparvi. Ciascun tipo di domande contribuisce in modo specifico alla valutazione delle conoscenze acquisite dagli studenti. In particolare, le domande a risposta chiusa mirano soprattutto a valutare la conoscenza delle nozioni matematiche fondamentali e la capacità di applicare tali nozioni alla risoluzione di semplici problemi ed esercizi. Mentre le domande a risposta aperta mirano soprattutto a valutare:

1. La capacità di articolare la conoscenza delle nozioni matematiche in modo concettualmente e formalmente corretto, utilizzando in modo adeguato definizioni, teoremi e dimostrazioni.
2. La capacità di cercare in modo attivo le idee e le catene deduttive più adatte per dimostrare eventuali collegamenti tra le proprietà degli enti matematici.
3. La capacità di applicare le nozioni matematiche alla risoluzione di problemi ed esercizi più complessi.

Poniamo una cura particolare a calibrare i punteggi grezzi assegnati in ciascuna prova, per ottenere punteggi finali la cui distribuzione sia il più possibile conforme alla distribuzione normale dei voti raccomandata dall'Università Bocconi.

Testi:

• S. CERREIA VIOGLIO, M. MARINACCI, E. VIGNA, Principles of Mathematics and Economics, Milano (versione draft, disponibile come file pdf).
• Materiali didattici integrativi.