Course 2022-2023 a.y.

• Strutture. L'insieme R: numeri reali, operazioni, proprietà. L'insieme R^n: vettori, operazioni, proprietà.
• Funzioni. Funzione composta, funzione inversa. Funzioni reali di una variabile reale: dominio, massimi/minimi, convessità, altre proprietà. Funzioni reali di n variabili reali: dominio, massimi/minimi, convessità, altre proprietà.
• Successioni di numeri reali: definizione e proprietà. Limiti di successioni e loro calcolo.
• Serie numeriche. Serie a termini non negativi e a termini di segno qualsiasi.
• Limiti e continuità per funzioni di una o n variabili reali.
• Calcolo differenziale in una variabile. Rapporto incrementale, derivata. Derivabilità e differenziabilità. Regole di derivazione. Teoremi di Fermat e Lagrange. Derivate successive. Teorema di De L'Hopital. Formula di Taylor. Condizioni di ottimo e di convessità.
• Calcolo differenziale in n variabili. Derivate parziali e gradiente. Derivabilità e differenziabilità. Estremi liberi, condizioni di ottimo. 
• Algebra lineare. Sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Base e dimensione di un sottospazio. Matrici e loro operazioni. Funzioni e applicazioni lineari: definizione, proprietà, rappresentazione. Determinante, rango e matrice inversa. Sistemi lineari: discussione e struttura delle soluzioni, soluzione.

• Conoscere le nozioni fondamentali dell'analisi matematica, del calcolo differenziale e dell'algebra lineare.
• Articolare tali nozioni in modo concettualmente e formalmente corretto, utilizzando in modo adeguato definizioni, teoremi e dimostrazioni.
• Comprendere la natura della matematica come sistema assiomatico-deduttivo.

• Applicare i risultati teorici fondamentali dell’analisi matematica, del calcolo differenziale e dell’algebra lineare alla risoluzione di problemi ed esercizi.
• Cercare in modo attivo le idee e le catene deduttive più adatte per dimostrare eventuali collegamenti tra le proprietà degli enti matematici e per risolvere problemi assegnati.

• Lezioni frontali
• Lezioni online
• Esercitazioni (esercizi, banche dati, software etc.)

Le lezioni online saranno attivate o no a seconda dei vincoli esterni e saranno analoghe alle consuete lezioni frontali.

Le esercitazioni consistono in sessioni dedicate all’applicazione dei principali risultati teorici ottenuti a problemi ed esercizi di varia natura.

Gli studenti sono valutati con un esame in forma scritta (in alcuni casi può essere prevista anche una parte orale). Tale esame si può sostenere in uno dei due modi seguenti.

• Mediante due prove parziali (ottobre, gennaio/febbraio), che si svolgono in forma tradizionale oppure online a seconda delle condizioni socio-sanitarie, e due test in itinere aggiuntivi (settembre, novembre), che si svolgono online. Ciascuna delle due prove parziali contiene sia domande a risposta aperta sia domande a risposta chiusa; ciascuna verte su una metà del programma d'esame; ciascuna conta per circa il quaranta per cento del voto finale. Ciascuno dei due test in itinere aggiuntivi contiene solo domande a risposta chiusa; ciascuno verte su una parte limitata del programma d'esame; ciascuno conta per circa il dieci per cento del voto finale. Se le condizioni socio-sanitarie saranno tali che una sessione della seconda prova parziale si debba svolgere online, si valuterà se questa prova dovrà comprendere una verifica orale. Ciascun tipo di domande contribuisce in modo specifico alla valutazione delle conoscenze acquisite dagli studenti. In particolare, le domande a risposta chiusa mirano soprattutto a valutare la conoscenza delle nozioni matematiche fondamentali e la capacità di applicare tali nozioni alla risoluzione di semplici problemi ed esercizi. Mentre le domande a risposta aperta (e - se prevista - la parte orale) mirano soprattutto a valutare:
  • La capacità di articolare la conoscenza delle nozioni matematiche in modo concettualmente e formalmente corretto, utilizzando in modo adeguato definizioni, teoremi e dimostrazioni.
  • La capacità di cercare in modo attivo le idee e le catene deduttive più adatte per dimostrare eventuali collegamenti tra le proprietà degli enti matematici.
  • La capacità di applicare le nozioni matematiche alla risoluzione di problemi ed esercizi più complessi.

• Mediante un unico esame generale, che si svolge in forma tradizionale oppure online a seconda delle condizioni socio-sanitarie. Tale esame contiene sia domande a risposta aperta sia domande a risposta chiusa, verte su tutto il programma del corso e può essere sostenuto in una delle quattro sessioni generali dell'anno accademico (le due sessioni regolari di gennaio e febbraio, o le due sessioni aggiuntive di giugno e agosto/settembre). Se le condizioni socio-sanitarie saranno tali che una sessione di prova generale si debba svolgere online, si valuterà se questa prova dovrà comprendere una verifica orale. Questa modalità è pensata soprattutto per gli studenti che si sono ritirati dalle prove parziali o che non hanno potuto parteciparvi. Ciascun tipo di domande contribuisce in modo specifico alla valutazione delle conoscenze acquisite dagli studenti. In particolare, le domande a risposta chiusa mirano soprattutto a valutare la conoscenza delle nozioni matematiche fondamentali e la capacità di applicare tali nozioni alla risoluzione di semplici problemi ed esercizi. Mentre le domande a risposta aperta (e - se prevista - la parte orale) mirano soprattutto a valutare:
  • La capacità di articolare la conoscenza delle nozioni matematiche in modo concettualmente e formalmente corretto, utilizzando in modo adeguato definizioni, teoremi e dimostrazioni. 
  • La capacità di cercare in modo attivo le idee e le catene deduttive più adatte per dimostrare eventuali collegamenti tra le proprietà degli enti matematici.
  • La capacità di applicare le nozioni matematiche alla risoluzione di problemi ed esercizi più complessi.

Poniamo una cura particolare a calibrare i punteggi grezzi assegnati in ciascuna prova, per ottenere punteggi finali la cui distribuzione sia il più possibile conforme alla distribuzione normale dei voti raccomandata dalla Università Bocconi.

• E. CASTAGNOLI, M. MARINACCI, E. VIGNA, Principi di Matematica per L'Economia, Milano, EGEA, 2017, 2 edizione (ISBN 978-88-238-2246-7).
• Materiali didattici integrativi.

• Structures. The set R: real numbers, operations, properties. The set R^n: vectors, operations, properties.
• Functions. Composite function, inverse function. Real functions of one real variable: domain, maxima/minima, convexity, other properties. Real functions of n real variables: domain, maxima/minima, convexity, other properties.
• Sequences of real numbers: definition and properties. Limits of sequences and their computation.
• Number series. Series with non-negative terms, series with terms of indefinite sign.
• Limits and continuity for functions of one or n real variables.
• One-variable differential calculus. Difference quotient, derivative. Differentiability. Differentiation rules. Fermat's and Lagrange's Theorems. Higher-order derivatives. De L'Hopital Theorem. Taylor formula. Optimization and convexity conditions.
• N-variable differential calculus. Partial derivatives and gradient. Differentiability. Unconstrained extrema, optimization conditions. 
• Linear algebra. Subspaces. Linear dependence and independence. Basis and dimension of a subspace. Matrices and their operations. Linear functions and applications: definition, properties, representation. Determinant, rank and inverse matrix. Linear systems: discussion and structure of the solutions, solution.

• Know the fundamental notions of mathematical analysis, of differential calculus, and of linear algebra.
• Articulate these notions in a conceptually and formally correct way, using adequate definitions, theorems, and proofs.
• Understand the nature of mathematics as an axiomatic-deductive system.

• Apply the fundamental theoretical results of mathematical analysis, of differential calculus and of linear algebra to the solution of problems and exercises.
• Actively search for deductive ideas and chains that are fit to prove possible links between the properties of mathematical objects and to solve assigned problems.

• Face-to-face lectures
• Online lectures
• Exercises (exercises, database, software etc.)

Online lectures will be included or not according to the external constraints and will be analogous to the usual face-to-face lectures.

Exercise sessions are dedicated to the application of the main theoretical results obtained to problems and exercises of various nature.

Students are evaluated on the basis of a written exam (in some cases, an oral part may be included). This exam may be taken in one of the two following ways.

• It can be split in two partial exams (October, January/February), which may take place either in a traditional form or online depending on the social and sanitary conditions, and two additional assessments (September, November), which take place online. Each of the two partial exams contains both open-answer questions and closed-answer questions; each one covers one half of the course syllabus; each one weighs for approximately forty percent of the final grade. Each of the two additional assessments contains only closed-answer questions; each one covers only a limited part of the course syllabus; and each one weighs for approximately ten percent of the final grade. If the social and sanitary conditions will be such that a session of the second partial exam has to take place online, we will decide whether the exam will include an oral part. Each type of questions contributes in a specific way to the assessment of the students' acquired knowledge. In particular, closed-answer questions mainly aim at evaluating the knowledge of the fundamental mathematical notions and the ability to apply these notions to the solution of simple problems and exercises. While open-answer questions (and - if included - the oral part) mainly aim at evaluating:
  • The ability to articulate the knowledge of mathematical notions in a conceptually and formally correct way, adequately using definitions, theorems and proofs.
  • The ability to actively search for deductive ideas and chains that are fit to prove possible links between the properties of mathematical objects.
  • The ability to apply mathematical notions to the solution of more complex problems and exercises.  
• It can be taken as a single general exam, which may take place either in a traditional form or online depending on the social and sanitary conditions. This exam contains both open-answer questions and closed-answer questions, covers the entire course syllabus, and can be taken in one of the four general sessions which are scheduled in the academic year (the two regular sessions in January and February, or the two make-up sessions in June and August/September). If the social and sanitary conditions are such that a session of the general exam has to take place online, we will decide whether the exam will include an oral part. This way is mainly meant for students who have withdrawn from the four partials procedure or could not follow it. Each type of questions contributes in a specific way to the assessment of the students' acquired knowledge. In particular, closed-answer questions mainly aim at evaluating the knowledge of the fundamental mathematical notions and the ability to apply these notions to the solution of simple problems and exercises. While open-answer questions (and - if included - the oral part) mainly aim at evaluating:
  • The ability to articulate the knowledge of mathematical notions in a conceptually and formally correct way, adequately using definitions, theorems and proofs. 
  • The ability to actively search for deductive ideas and chains that are fit to prove possible links between the properties of mathematical objects.
  • The ability to apply mathematical notions to the solution of more complex problems and exercises.

We take a special care to adjust the raw grades assigned in each exam, to obtain final grades whose distribution follows as closely as possible the normal distribution of grades that is recommended by Università Bocconi.

• S. CERREIA VIOGLIO, M. MARINACCI, E. VIGNA, Principles of Mathematics and Economics, Milano (draft version available as a pdf file).
• Integrative teaching materials.