Course 2001-2002 a.y.

CLEA/CLEP (0 credits - II sem.) - CLEP (0 credits - II sem.) - CLEA (0 credits - II sem.) - DES (0 credits - II sem.) - CLEFIN (0 credits - II sem.) - CLAPI (0 credits - II sem.) - CLELI (0 credits - II sem.)

Course Head:
DA DEFINIRE

Presentazione generale del corso:

Si sviluppano gli elementi di base della teoria dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie e delle equazioni alle differenze. Particolare enfasi e' posta sulla stabilita' dei punti di equilibrio e delle orbite periodiche.
L'ultima parte del corso e' dedicata ad un'introduzione all'equazione di diffusione ed all'equazione di Black-Scholes.
L'obiettivo e' mettere in grado lo studente di interpretare ed analizzare criticamente i modelli che si presentano nelle teorie economiche e finanziarie, siano essi continui o discreti.

Programma del corso:

1. Equazioni e sistemi di equazioni differenziali. Formule per equazioni del primo ordine lineari, a variabili separabili, differenziali esatte, Riccati. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicita'. Punti di equilibrio di equazioni autonome del primo ordine. Diagramma di fase. Analisi della stabilita'. Modello unisettoriale neoclassico. Sistemi ed equazioni lineari. Struttura dell'insieme delle soluzioni. Equazioni a coefficienti costanti. Integrale generale. Stabilita' della soluzione nulla. Modello di Phillips in macroeconomia elementare. Sistemi a coefficienti costanti. Matrice esponenziale. Integrale generale. Stabilita' della soluzione nulla. Sistemi bidimensionali autonomi. Piano delle fasi. Punti di equilibrio e orbite periodiche. Stabilita'. Sistemi lineari: classificazione dei punti di equilibrio e loro stabilita'. Sistemi non lineari. Metodo di Linearizzazione e di Liapunov. Equazione del pendolo e modello di Lotka-Volterra. Orbite chiuse. Cicli limite. Teorema di Poincare'-Bendixson.
2. Equazioni e sistemi alle differenze. Formule per le equazioni lineari del primo ordine. Equazioni a coefficienti costanti. Soluzione generale. Stabilita' della soluzione nulla. Metodo di somiglianza per equazioni non omogenee. Equazioni autonome del primo ordine. Diagramma a gradini. Orbite. Punti di equilibrio e loro stabilita'. Metodo di linearizzazione. Orbite periodiche. Mappe unimodali e teorema di Singer. Teorema di Sharkowsky. Comportamento caotico. Dinamica simbolica. Equazione logistica. Cascata di biforcazioni con raddoppio del periodo. Comportamento caotico e relazione con la dinamica simbolica. Sistemi di equazioni lineari. Formula per la soluzione. Stabilita' della soluzione nulla. Sistemi non lineari. Stabilita' per linearizzazione. Equazione logistica con ritardo.
3. Introduzione all'equazione di diffusione. Problemi ben posti. Soluzione fondamentale. Approssimazione dell'equazione di diffusione con un'equazione alle differenze. Connessione con la passeggiata aleatoria simmetrica e il moto Browniano. Il problema ai valori iniziali. Formula generale e principio di massimo. Equazioni riconducibili all'equazione di diffusione. L'equazione di Black-Scholes e determinazione del prezzo di opzioni europee.

Testi d'esame:

• A. GUERRAGGIO, S. SALSA, Metodi Matematici per l'Economia e le Scienze Sociali, Giappichelli, Torino, 1997.
• S. SALSA, Introduzione alle equazioni a derivate parziali, Uncle Press 2000.
• P. WILLMOTT, S. HOWISON, J. DEWYNNE, The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge Press, 1999.
• S. SALSA, A. SQUELLATI, Esercizi di Analisi Matematica II, Masson/Zanichelli 1994, parte III.

Prove d'esame:

Esame in forma orale.