Course 2023-2024 a.y.

• Il modello di mercato finanziario uni periodale: nozioni di base, legge del prezzo unico, arbitraggi,  probabilità neutrali al rischio.
• Il primo teorema fondamentale della finanza.
• Mercati completi e secondo teorema fondamentale della finanza.
• La valutazione neutrale al rischio di derivati.
• Il modello di mercato finanziario multi periodale in tempo discreto. Strutture informative e processi stocastici di prezzi, dividendi e strategie d’investimento.
• Assenza di arbitraggio e proprietà di martingala del processo del guadagno attualizzato. Completezza dinamica. Valutazione dei derivati in ambito multi periodale.
• Mercati finanziari in tempo continuo: informazione, processi dei prezzi e strategie di investimento. Il moto Browniano e le equazioni differenziali stocastiche.
• Il modello di Black e Scholes: non arbitraggio, completezza e valutazione neutrale al rischio dei derivati europei. La formula di Black-Scholes.
• L’equazione alle derivate parziali di Black-Scholes.
• Il laboratorio computazionale con esempi pratici degli argomenti precedentemente menzionati implementati in Excel.

Illustrare e spiegare:

• Le nozioni di base e le definizione dei modelli di mercato finanziario a tempo discreto: strutture informative e processi stocastici di prezzi, dividendi e strategie d’investimento, legge del prezzo unico, le nozioni di non arbitraggio e delle probabilità neutrali al rischio.
• Il primo teorema fondamentale della finanza.
• La nozione di completezza e il secondo teorema fondamentale della finanza.
• Il legame tra non arbitraggio e la proprietà di martingala del guadagno attualizzato.
• Il principio della valutazione neutrale al rischio di derivati.
• i modelli di mercato a tempo continuo con moto Browniano standard e equazioni differenziali stocastiche.
• le caratteristiche del modello di Black e Scholes, la formula di Black e Scholes e l'equazione alle derivate parziali di Black e Scholes.
• i metodi di risoluzione in Excel dei problemi teorici sopra citati in casi reali.

Applicare le definizioni e i risultati teorici per:

• analizzare l'assenza di arbitraggio sia nei mercati a tempo discreto che in quelli a tempo continuo;
• calcolare le probabilità neutrali al rischio ed applicarle per valutare l'assenza di arbitraggio;
• esaminare la nozione di completezza di un mercato e connetterla con l'assenza di arbitraggio;
• calcolare i prezzi di non arbitraggio dei titoli derivati;
• calcolare le strategie di copertura dei titoli derivati;
• calcolare i prezzi di non arbitraggio e le strategie di copertura per vari derivati usando Excel.

• Lezioni frontali
• Esercitazioni (esercizi, banche dati, software etc.)

Gli esercizi saranno sviluppati in una serie di 4 lezioni, il Laboratorio Computazionale, in cui si risolveranno numericamente i problemi visti nelle lezioni di teoria. Queste applicazioni numeriche sono particolarmente utili per consentire agli studenti di acquisire una conoscenza operativa delle tematiche teoriche viste nelle lezioni.

L'esame del corso consiste sia in domande in forma chiusa sia in forma aperta. Entrambi i tipi di domande hanno la finalità di valutare la capacità degli studenti di:

• Analizzare l'assenza di arbitraggio sia nei mercati a tempo discreto che in quelli a tempo continuo.
• Calcolare le probabilità neutrali al rischio ed applicarle per valutare l'assenza di arbitraggio.
• Esaminare la nozione di completezza di un mercato e connetterla con l'assenza di arbitraggio.
• Calcolare i prezzi di non arbitraggio dei titoli derivati.
• Calcolare le strategie di copertura dei titoli derivati.
• Mostrare capacità di comprendere argomenti di teoria discussi in classi quali definizioni, enunciati e dimostrazioni.

Le domande di teoria saranno basate su una lista di argomenti da studiare per l'esame, pubblicata prima degli esami.

Il punteggio totale per l'esame finale è 100. 

Il corso prevede la possibilità di un lavoro di gruppo opzionale collegato al Laboratorio Computazionale. Ogni gruppo avrà da 3 a 5 studenti. Il lavoro di gruppo sarà valutato con una scala di 100 punti. Il voto del lavoro di gruppo, denotato con A, contribuirà al punteggio individuale di ogni studente secondo la seguente formula.  Sia F il voto dell'esame scritto finale individuale. Il voto dell'esame (su base 100) è:

max{0.2*A + 0.8*F, F}

Questo voto finale su base 100 sarà convertito  in base 31 usando la curva di riferimento della scuola graduate della Bocconi 

A. BATTAUZ, F. ORTU, F. ROTONDI, Arbitrage Theory in Discrete and Continuous Time, Lecture Notes EGEA, Revised Edition, 2023

• The one-period model of financial markets: basic notation and definitions, law of one price, arbitrage, risk-neutral probabilities.
• The First Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• Complete markets and the Second Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• Risk-Neutral valuation of derivative securities.
• The multi-period model of financial markets in discrete time. Information structures, stochastic processes, dynamic investment strategies.
• No arbitrage and the martingale property of the discounted gain process. Dynamic completeness. Risk-neutral valuation of derivatives in the multi-period case.
• Continuous-time financial markets: information, continuous-time stochastic processes, price processes and investment strategies. Standard Brownian motions and Stochastic Differential Equations (SDEs).
• The Black-Scholes model: no-arbitrage, completeness and risk-neutral valuation of european-type derivatives, the Black-Scholes formula, the Black-Scholes Partial Differential Equation.
• The Computational Lab, where the above topics will be brought to real-life practice by implementing them by means of Excell spreasheets.

Illustrate and explain:

• The basic notation and definitions of discrete-time models of financial markets: information structures, stochastic processes, prices and dividend processes, dynamic investment strategies, the law of one price, the notions of no arbitrage and of risk-neutral probabilities.
• The First Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• The notion of complete markets and the Second Fundamental Theorem of Asset Pricing.
• The connection between No arbitrage and the martingale property of the discounted gain processes.
• The principle of Risk-neutral valuation of derivative securities.
• The modelling of financial markets in continuous-time via Standard Brownian Motions and Stochastic Differential Equations (SDEs).
• The main features of the Black-Scholes model, the Black-Scholes formula and the Black-Scholes Partial Differential Equation.
• The way in which the above theoretical concepts are brought to real-life practice by using Excel Spreadsheets.

Apply the definitions and theoretical results to:

• assess if no arbitrage holds in both discrete and continuos models of financial markets;
• compute risk-neutral probabilities and employ them to evaluate the absence of arbitrage;
• examine the compleness of the market and connect it to no arbitrage;
• compute no arbitrage prices of various examples of derivative securities;
• compute hedging strategies for various examples of derivative securities;
• compute no arbitrage prices and hedging strategies for various derivatives using Excel.

• Face-to-face lectures
• Exercises (exercises, database, software etc.)

The exercises will be carried out in a series of 4 lectures, the so-called Computational Lab  constituted of numerical examples of applications of the main theoretical topics discussed in the face-to-face lectures. These numerical exercise are particularly useful to allow the students to get working knowledge of the theoretical results discussed in class. 

The final exams consists of both open and closed questions. The closed questions maybe comprehend both multiple choice and multiple answer questions. More specifically, both open and closed questions will test the students' ability to:

• Assess if no arbitrage holds in both discrete and continuos models of financial markets.
• Compute risk-neutral probabilities and employ them to evaluate the absence of arbitrage.
• Examine the compleness of the market and connect it to no arbitrage.
• Compute no arbitrage prices of various examples of derivative securities.
• Compute hedging strategies for various examples of derivative securities.
• Show the understanding of theoretical aspects discussed in the course, such as definitions, statements and proofs.

The question that tests knowledge of the theoretical aspects discussed in the course will be based on a list of topics that students are responsible to know for the exam. The list will be distributed to the students ahead of the exams. The total number of points available in the final exam is 100.

The course features also an optional group assignment linked to the Computational Lab. Each group will consist of three to five students. This assignment will also be graded on a 100 points scale. The resulting score, call it A, will be merged to the score earned by each student on the final written exam, call it F, according to the following formula: final points = max{0.2*A + 0.8*F, F}. These final points (out of 100) are then mapped into the final grade (out of 31) using the curve implemented at Bocconi Graduate School. 

A. BATTAUZ, F. ORTU, F. ROTONDI, Arbitrage Theory in Discrete and Continuous Time, Lecture Notes EGEA, Revised Edition, 2023.