Course 2019-2020 a.y.

• Integral calculus: antiderivative; indefinite integral; integration methods; definite integral; integral function; generalized integrals and convergence criteria.
• Probability Calculus: classical, empirical and subjective approaches. Axiomatic approach: sample space, events algebra, probability measure. Conditional probability.
• Random numbers and vectors: distribution function, probability and probability density functions. Expected value and variance of a random number. Joint and marginal probability function of a random vector; stochastic independence and linear correlation; covariance; expected value and variance of a linear combination of random numbers.
• Financial calculus: present and final value: financial laws of one and two variables. Decomposability. Annuities and loan amortization. Consumer credit.
• Fixed income bonds. Interest Rate Term Structure. Duration: financial  immunization and volatility of the bond price.
• Financial choices: DCF, NPV and IRR. Generalizations: GNPV, APV and GAPV. Financial leverage. Decomposition of global indices.

• Recognize the proper meaning of standard indices of cost/profitability for a financial operation such as  NPV, IRR,  etc..
• Identify the proper meaning  probabilistic statement and terms concerning  random quantities such as uncorrelated random yields, default risk and so on.
• Reproduce the correct procedures  for computing integrals, probabilities and financial quantities.

• Apply the learned calculus methods to  compute and/or asses the correctness of quantities which are relevant both in theory and in practice such as: the no arbitrage price of a  bullet bond, the internal effective rate of a loan, the expected returns rate of a portfolio, etc..
• Evaluate the profitability of a financial operation by choosing the proper method/model to adopt.
• Compute a probability measure that is coherent with the available information on the stochastic event/number.

• Face-to-face lectures
• Exercises (exercises, database, software etc.)

Teaching and learning activities for this course are divided into (1) face-to-face-lectures, (2) in class exercises (3) self-assessment on line materials.  

1. During the lectures convenient examples and applications allow students to identify the quantitative patterns and their main logical-mathematical properties.
2. The in class exercises allow students to apply the analytical tools illustrated during the course.
3. Besides the exercises proposed in class, further exercises, such as "mock exams" and "past written exam" are uploaded on-line. The on-line exercises allow students to individually practice and self-assess their own skills.

The exam modality is written: the final grade depends exclusively on the student performance in the written exam. The written contains both closed-ended and open-ended questions. Their structure is designed in order to assess:

• The ability to identify the proper tool to be used in the described framework.
• The ability to correctly apply the chosen tool to compute and/or choose the required result.
• The ability to describe the notions and the methods used.
• The ability to justify in a proper manner the achieved conclusions.

• L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Integral Calculus, Extract from Mathematics for Economics and Business, Milano, EGEA, 2008 (Chapter 7).
• E. CASTAGNOLI, M. CIGOLA, L. PECCATI, Probability. A Brief Introduction, Milano, EGEA, 2009, second edition.
• E. CASTAGNOLI, M. CIGOLA, L. PECCATI, Financial Calculus with Applications, Milano, EGEA, 2013.

• Calcolo integrale: primitiva, integrale indefinito. Metodi di Integrazione. Integrale definito. Funzione integrale. Integrali generalizzati e criteri di convergenza.
• Calcolo delle probabilità: approccio classico, frequentista e soggettivista. Approccio assiomatico: spazio dei risultati, algebra degli eventi, misura di probabilità. Probabilità condizionata.
• Numeri e vettori aleatori: funzione di ripartizione, di probabilità e di densità di probabilità. Valore atteso e varianza di un numero aleatorio. Distribuzione congiunta e marginale di probabilità. Indipendenza stocastica e correlazione lineare. Covarianza. Valore atteso e varianza di una combinazione lineare di numeri aleatori.
• Capitalizzazione e attualizzazione: leggi finanziarie di una e di due variabili. Scindibilità. Rendite e ammortamenti. Credito al consumo.
• Titoli a reddito fisso. Struttura a termine dei tassi. Duration: immunizzazione semideterministica e volatilità del prezzo di un titolo.
• Scelte finanziarie: DCF, NPV e tasso interno. Generalizzazioni: GNPV, APV e GAPV. La leva finanziaria. Scomposizione di indici globali.

• Comprendere il significato di indicatori standard di redditività/onerosità di un'operazione finanziaria quali NPV, IRR, Taeg, TAN, ecc..
• Interpretare correttamente affermazioni  e locuzioni probabilistiche riferite a quantità aleatorie quali: rendimenti aleatori (in)correlati, rischio di insolvenza, ecc..
• Conoscere le corrette procedure di calcolo in ambito probabilistico e finanziario incluse quelle che utilizzano integrali.

• Utilizzare le procedure di calcolo apprese per determinare e verificare la correttezza di quantità rilevanti nelle applicazioni pratiche e nei modelli teorici: quali il prezzo di non arbitraggio di un titolo, il TAEG di un finanziamento, il rendimento atteso di un portafoglio titoli, ecc..
• Valutare la convenienza di un'operazione finanziaria individuando il corretto modello da utilizzare.
• Effettuare un'assegnazione di probabilità coerente sulla base delle informazioni disponibili sull'evento/numero aleatorio.

• Lezioni frontali
• Esercitazioni (esercizi, banche dati, software etc.)

L'attività di insegnamento-apprendimento prevedono (1) lezioni frontali (2) esercitazioni in aula (3) predisposizione di materiali di autoverifica.

1. Le lezioni introducono il modello quantitativo e le proprietà logiche e matematiche che lo caratterizzano. Illustrano le metodologie di calcolo idonee sia attraverso definizioni e enunciati, sia attraverso esemplificazioni ed applicazioni concrete.
2. Le esercitazioni in aula svolgono il ruolo di guidare lo studente nell'applicazione dei principi illustrati  tramite lo svolgimento di esercizi riassuntivi predisposti allo scopo.
3. Testo e soluzioni delle esercitazioni svolte in aula ed ulteriori esercizi nella forma di "simulazione d'esame" e testi di passati esami sono pubblicati online per consentire una proficua pratica di allenamento individuale che ogni studente può svolgere individualmente.

La valutazione è affidata esclusivamente a una prova scritta articolata su più domande.

Per le prove in presenza sono previste domande di tre differenti tipi: (i) scelta multipla; (ii) risposta breve (di tipo numerico o analitico); (iii) risposta aperta chiusa. Le domande sono strutturate in modo da verificare:

• La capacità di riconoscere l'idoneo strumento da utilizzare nel contesto descritto.
• La capacità di utilizzare correttamente lo strumento individuato.
• La capacità di descrivere i concetti e i metodi utilizzati.
• La capacità di giustificare in maniera idonea le conclusioni ottenute.

Per le prove online che temporaneamente sostituiranno le prove in presenza sono previste domande di tre differenti tipi: (a) scelta multipla; (b) associazione (matching); (c) risposta chiusa numerica. 

Le domande sono strutturate in modo da verificare:

• La capacità di riconoscere l'idoneo strumento da utilizzare nel contesto descritto.
• La capacità di utilizzare correttamente lo strumento individuato.

• L. PECCATI, S. SALSA, A. SQUELLATI, Calcolo integrale, Estratto da Matematica per l’economia e l’azienda, Milano, EGEA, Milano, 2018, quarta edizione (capitolo 7).
• E. CASTAGNOLI, M. CIGOLA, L. PECCATI, Probability. A Brief Introduction, Milano, EGEA, 2009, seconda edizione.
• E. CASTAGNOLI, L. PECCATI, Matematica in azienda 1. Calcolo finanziario con applicazioni, Milano, EGEA, 2010, quarta edizione.
• Videolezioni su Probabilità e Calcolo Finanziario (M. Impedovo)
• Appunti di Calcolo delle Probabilità (M. Cigola), PDF disponibile su Blackboard
• Appunti di Calcolo Finanziario (M. Cigola), PDF disponibile su Blacboard